是的,而告诉你什么时候的数学叫做凯利标准。
凯利标准表面上看是关于你应该在正和游戏中下注多少钱。
想象一下,你有一个游戏,你抛出一枚硬币,如果是头,你会得到3倍的赌注,如果是反面,你会输掉你的赌注。天真的你会想:"太好了,我应该玩,把我的每一块钱都押上!" –毕竟,它的平均投资回报率为50%。你每下注一美元,平均可以得到1.5美元的回报,所以你不下注的每一美元都是0.5美元的损失。
但如果你这样做,你每天都玩10年,你几乎都会以破产告终。有意思。
另一方面,如果你什么都不赌,你就会失去一项伟大的投资。所以在一定的假设下,你既不想押上所有的东西,也不想什么都不押(假设你几乎可以无限期地重复押注)。
那么问题就变成了,你应该用你银行存款的多少百分比来投注?
凯利标准可以回答这个问题。典型的Kelly Criterion情况是,我们做的是正收益的投注,而不是对损失的保险;但是通过一点数学技巧,我们可以用它来决定你应该花多少钱来对损失进行保险。
理解凯利标准的一个 “简单 "的方法是,你要在某一时期内使你的价值对数最大化。这样的最大化会带来某种意义上的最大长期价值。
让我们用一个保险案例来试一试。
假设你有一笔100万元的资产。它每年有1%的几率被一些随机事件(洪水、火灾、税收、草叉)摧毁。
你可以购买保险,每年购买价值2%的保险。它甚至包括草叉。
从表面上看,这似乎是个糟糕的交易。你的预期损失只有1%,但隐藏损失的成本是2%?
如果这是你唯一的资产,那么损失使你的净值为0,零的对数是负无穷大。在凯利之下,任何保险(无论多么低效)都是值得的。这是一个有点极端的情况,我们将介绍为什么它不适用,即使它在其他地方似乎是适用的。
现在假设你有100万美元的其他资产。在投保的情况下,无论灾难是否发生,我们在年底总是有198万美元。在非保险情况下,99%的时间我们有200万美元,1%的时间我们有100万美元。
我们要使我们价值的预期对数值最大化。我们有log(200万-2万)(投保情况)与1%/* log(100万)+99%/* log(200万)。
或者14.49(投保)VS 13.7953(未投保)。凯利标准说,保险是值得的;请注意,你可以 "买得起 "换房,但因为房子占了你的净资产这么多,凯利说 "撞得太痛了",你应该只买保险。
现在假设你的身价是10亿。我们在投保方面有log(10亿-2万),在未投保方面有1%/log(9.99亿)+99%/log(10亿)。
两边的对数分别是20.72(已投保)与21.42(未投保)。(注意,对数的基数并不重要,只要两边的基数相同即可)。
根据Kelly的说法,我们发现了一个保险不值得买的案例。
凯利标准大致告诉你:"如果我每(一段时间)都进行这个赌注,那么在(多次重复这个赌注)之后,我平均会比不进行这个赌注更富有吗?” 当答案是 “不会 "时,意味着自保比使用外部保险更有效率。答案要对你所购买的保险产品的利润率,以及资产相对于你的总财富的大小敏感。
现在,凯利标准很容易被误用。在当前资产中财务价值为零,很容易忽略非金融资产(比如你的工作能力,或者朋友,或者其他什么)。而且它假定重复到无穷大,而人往往活不了那么久。
但这是一个好的起点。
注意,破产的选择很容易让保险对远为贫穷的人来说不 "值钱";这也是银行坚持要你给财产买保险的原因之一。
你可以用凯利计算在给定的保险公司利润率下,考虑到你的净资产和所涉及的风险,你应该购买多少保险。这在金融学中也可以用来计算你在投资中应该对冲多少赌注;实际上,它量化了有了钱如何更容易赚钱。